Question

13．已知动点P到点A（-2，0）与点B（2，0）的斜率之积为-$\frac{1}{4}$，点P的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）若点Q为曲线C上的一点，直线AQ，BQ与直线x=4分别交于M、N两点，求线段MN长度的最小值．

Answer 1

分析 （I）设P（x，y），由题意知利用斜率计算公式即可得到$\frac{y}{x+2}$•$\frac{y}{x-2}$=-$\frac{1}{4}$（x≠±2），化简即可求出曲线C的方程．
（Ⅱ）满足题意的直线AQ的斜率显然存在且不为零，设其方程为y=k（x+2），由（Ⅰ）知${k}_{QB}•k=-\frac{1}{4}$，设直线QB方程为y=-$\frac{1}{4k}$（x-2），分别求出点M，N的坐标，再利用两点间的距离公式即可得到|MN|，利用基本不等式的性质即可得出线段MN长度的最小值．

解答 解：（Ⅰ）设P（x，y），由题意知k_AP•k_BP=-$\frac{1}{4}$，
即$\frac{y}{x+2}$•$\frac{y}{x-2}$=-$\frac{1}{4}$（x≠±2），
化简得曲线C方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1（x≠±2）．
（Ⅱ）满足题意的直线AQ的斜率显然存在且不为零，设其方程为y=k（x+2），
由（Ⅰ）知${k}_{QB}•k=-\frac{1}{4}$，
∴设直线QB的方程为y=-$\frac{1}{4k}（x-2）$，
当x=4时，得N（4，-$\frac{1}{2k}$），
由题意得M（4，6k），
∴|MN|=|6k+$\frac{1}{2k}$|=|6k|+$\frac{1}{|2k|}$≥2$\sqrt{|6k|•\frac{1}{|2k|}}$=2$\sqrt{3}$，
当且仅当k=$±\frac{\sqrt{3}}{6}$时，线段MN的长度取最小值2$\sqrt{3}$．

点评 本题综合考查了椭圆的标准方程、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、斜率计算公式、两点间的距离公式等基础知识与基本技能，需要较强的推理能力和计算能力．