Question

8．在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，E是棱PC的中点．
（1）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；
（2）若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角FABP的正弦值．

Answer 1

分析 （1）以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BE与平面PBD所成角的正弦值．
（2）求出平面FBA的法向量和平面ABP的法向量，利用向量法能求出二面角F-AB-P的正弦值．

解答 解：（1）∵PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，
以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
∵AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．
∴B（1，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（1，1，1）
∴$\overrightarrow{BD}$=（-1，2，0），$\overrightarrow{PB}$=（1，0，-2），
设平面PBD的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BD}=-x+2y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PB}=x-2z=0}\end{array}\right.$，令y=1，则$\overrightarrow{m}$=（2，1，1），
则直线BE与平面PBD所成角θ满足：
sinθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BE}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{BE}|}$=$\frac{2}{\sqrt{6}×\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故直线BE与平面PBD所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
（2）∵$\overrightarrow{BC}$=（1，2，0），$\overrightarrow{CP}$=（-2，-2，2），$\overrightarrow{AC}$=（2，2，0），
由F点在棱PC上，设$\overrightarrow{CF}$=λ$\overrightarrow{CP}$=（-2λ，-2λ，2λ），（0≤λ≤1），
故$\overrightarrow{BF}$=$\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CF}$=（1-2λ，2-2λ，2λ），（0≤λ≤1），
由BF⊥AC，得$\overrightarrow{BF}•\overrightarrow{AC}$=2（1-2λ）+2（2-2λ）=0，解得λ=$\frac{3}{4}$，
∴$\overrightarrow{BF}=（-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，\frac{3}{2}）$，
设平面FBA的法向量为$\overrightarrow{n}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=a=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BF}=-\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b+\frac{3}{2}c=0}\end{array}\right.$，令c=1，则$\overrightarrow{n}$=（0，-3，1），
取平面ABP的法向量$\overrightarrow{i}$=（0，1，0），
则二面角F-AB-P的平面角α满足：
cosα=$\frac{|\overrightarrow{i}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{i}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{3}{\sqrt{10}}=\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
∴sinα=$\sqrt{1-（\frac{3\sqrt{10}}{10}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$．
∴二面角F-AB-P的正弦值为$\frac{\sqrt{10}}{10}$．

点评 本题考查线面角的正弦值的求法，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的关系等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想，是中档题．