Question

3．设h=min{a，$\frac{2b}{{a}^{2}+{b}^{2}}$}，其中a，b 均为正实数，证明：h≤1．

Answer 1

分析 依题意h≤a，$h≤\frac{2b}{{a}^{2}+{b}^{2}}$，两式相乘得h²$≤\frac{2ab}{{a}^{2}+{b}^{2}}$，得h²$≤\frac{2ab}{{a}^{2}+{b}^{2}}$≤1，即可证明

解答 证明：依题意h≤a，$h≤\frac{2b}{{a}^{2}+{b}^{2}}$，
由不等式的性质，两式相乘得h²$≤\frac{2ab}{{a}^{2}+{b}^{2}}$，
因为a²+b²≥2ab，
所以得h²$≤\frac{2ab}{{a}^{2}+{b}^{2}}$≤1，
（当且仅当a=b时等号成立），即证．

点评 本题考查了不等式的证明，利用不等式的性质、属于中档题．