Question

14．设直线l与曲线C₁：y=e^x和曲线C₂：y=-$\frac{1}{{e}^{x}}$均相切，切点分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁y₂=-e²．

Answer 1

分析 对C₁：y=e^x和曲线C₂：y=-$\frac{1}{{e}^{x}}$求导可得：y′=e^x，y′=$\frac{1}{{e}^{x}}$．由题意可得${e}^{{x}_{1}}$=$\frac{1}{{e}^{{x}_{2}}}$．另一方面：$\frac{-\frac{1}{{e}^{{x}_{2}}}-{e}^{{x}_{1}}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=${e}^{{x}_{1}}$=$\frac{1}{{e}^{{x}_{2}}}$．可得：x₁=x₂+2．即可得出．

解答 解：对C₁：y=e^x和曲线C₂：y=-$\frac{1}{{e}^{x}}$求导．
y′=e^x，y′=$\frac{1}{{e}^{x}}$．
∴${e}^{{x}_{1}}$=$\frac{1}{{e}^{{x}_{2}}}$．
另一方面：$\frac{-\frac{1}{{e}^{{x}_{2}}}-{e}^{{x}_{1}}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=${e}^{{x}_{1}}$=$\frac{1}{{e}^{{x}_{2}}}$．
可得：x₁=x₂+2．
又${y}_{1}={e}^{{x}_{1}}$，${y}_{2}=-\frac{1}{{e}^{{x}_{2}}}$．
∴y₁y₂=${e}^{{x}_{1}}×（-\frac{1}{{e}^{{x}_{2}}}）$=-${e}^{{x}_{2}+2}$$•\frac{1}{{e}^{{x}_{2}}}$=-e²．
故答案为：-e²．

点评 本题考查了利用导数求切线的斜率、方程思想方法、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．