Question

5．如图：已知△ABC，AC=15，M在AB边上，且CM=3$\sqrt{13}$，cos∠ACM=$\frac{{3\sqrt{13}}}{13}$，sinα=$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，（α为锐角），则△ABC的面积为225．

Answer 1

分析 利用余弦定理求出AM，利用正弦定理求解∠MAC，求出AB，然后求解三角形的面积．

解答 解：在△AMC中，
由余弦定理可得AM²=AC²+CM²-2AC•CMcos∠ACM=72，
得$AM=6\sqrt{2}$，
在△AMC中，由正弦定理$\frac{AM}{sin∠ACM}=\frac{MC}{sin∠MAC}$，
解得$sin∠MAC=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，所以$∠MAC=\frac{π}{4}$，
在△ABC中，$sin∠ACB=sin（{π-α}）=sinα=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，
由正弦定理可得$\frac{AC}{sin∠ABC}=\frac{AB}{sin∠ACB}$，解得$AB=30\sqrt{2}$，
所以△ABC的面积为$\frac{1}{2}×sin∠BAC×AB×AC=\frac{1}{2}×\frac{{\sqrt{2}}}{2}×30\sqrt{2}×15$
=225．
故答案为：225．

点评 本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，考查计算能力．