Question

16．若实数a、b、c＞0，且${a^2}+ab+bc+ca=6-2\sqrt{5}$，则2a+b+c的最小值为（　　）

• A． $\sqrt{5}-1$
• B． $\sqrt{5}+1$
• C． $2\sqrt{5}+2$
• D． $2\sqrt{5}-2$

Answer 1

分析 利用题意将所给的算式分别变形，配凑处均值不等式的形式，然后利用均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果．

解答 解：根据题意，2a+b+c=（a+c）+（a+b），
又由a、b、c＞0，则（a+c）＞0，（a+b）＞0，
且由题意可知：${a}^{2}+ab+bc+ca=（a+c）（a+b）=6-2\sqrt{5}$，则：
$2a+b+c=（a+c）+（a+b）?2\sqrt{（a+c）（a+b）}=2\sqrt{6-2\sqrt{5}}=2\sqrt{5}-2$，
当且仅当：a+c=a+b 时等号成立．
故选：D．

点评 本题考查均值不等式的应用，整体思想的应用等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．