Question

7．双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）上一点M（-3，4）关于一条渐进线的对称点恰为右焦点f₂，则该双曲线的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{5}-\frac{{y}^{2}}{20}$=1．

Answer 1

分析 根据双曲线的定义和性质以及点的对称中点坐标公式即可求出

解答 解：双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程y=-$\frac{b}{a}$x，右焦点F₂的坐标为（c，0），
∵双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）上一点M（-3，4）关于一条渐进线的对称点恰为右焦点F₂，
∴$\frac{0-4}{c+3}$•（-$\frac{b}{a}$）=-1，①
∵AF₂的中点坐标为（$\frac{c-3}{2}$，2），
∴2=-$\frac{b}{a}$•$\frac{c-3}{2}$，②，
∵a²+b²=c²，③，
由①②③解得a²=5，b²=20，
故答案为：$\frac{{x}^{2}}{5}-\frac{{y}^{2}}{20}$=1．

点评 本题考查了双曲线的简单性质和定义，以点的对称问题，考查了学生的运算能力，属于中档题