Question

12．已知数列{a_n}共有3n（n∈N^*）项，记f（n）=a₁+a₂+…+a_3n，对任意的k∈N^*，1≤k≤3n，都有a_k∈{0，1}，且对于给定的正整数p（p≥2），f（n）是p的整数倍，把满足上述条件的数列{a_n}的个数记为T_n．
（1）当p=2时，求T₂的值；
（2）当p=3时，求证：T_n=$\frac{1}{3}$[8ⁿ+2（-1）ⁿ]．

Answer 1

分析 （1）根据组合数公式计算；
（2）运用数学归纳法和组合数公式的性质证明．

解答 解：（1）当n=2时，{a_n}共有6项，当p=2时，f（n）为偶数，
∴{a_n}中1的个数为偶数，
∴T₂=${C}_{6}^{0}$+${C}_{6}^{2}$+${C}_{6}^{4}$+${C}_{6}^{6}$=32．
（2）证明：p=3时，{a_n}中1的个数为3的倍数，
∴当n=1时，T₁=${C}_{3}^{0}$+${C}_{3}^{3}$=2，显然结论成立，
假设n=k时，结论成立，即T_k=$\frac{1}{3}$[8^k+2（-1）^k]，
即T_k=${C}_{3k}^{0}$+${C}_{3k}^{3}$+C${\;}_{3k}^{6}$+…+${C}_{3k}^{3k}$=$\frac{1}{3}$[8^k+2（-1）^k]，
∴当n=k+1时，T_k+1=${C}_{3k+3}^{0}$+${C}_{3k+3}^{3}$+…+${C}_{3k+3}^{3k+3}$，
又${C}_{3k+3}^{0}{=C}_{3k}^{0}=1$，
${C}_{3k+3}^{3}$=${C}_{3k}^{3}$+3${C}_{3k}^{2}$+3${C}_{3k}^{1}$+${C}_{3k}^{0}$，
${C}_{3k+3}^{6}$=${C}_{3k}^{6}$+3C${\;}_{3k}^{5}$+3C${\;}_{3k}^{4}$+${C}_{3k}^{3}$，
${C}_{3k+3}^{9}$=${C}_{3k}^{9}$+3${C}_{3k}^{8}$+3${C}_{3k}^{7}$+${C}_{3k}^{6}$，
…
${C}_{3k+3}^{3k}$=${C}_{3k}^{3k}$+3C${\;}_{3k}^{3k-1}$+3${C}_{3k}^{3k-2}$+${C}_{3k}^{3k-3}$，
C${\;}_{3k+3}^{3k+3}$=${C}_{3k}^{3k}$，
∴T_k+1=2（${C}_{3k}^{0}$+${C}_{3k}^{3}+$${C}_{3k}^{6}$+…+C${\;}_{3k}^{3k}$）+3（C${\;}_{3k}^{1}$+${C}_{3k}^{2}$+C${\;}_{3k}^{4}$+${C}_{3k}^{5}$+…+${C}_{3k}^{3k-2}$+${C}_{3k}^{3k-1}$）
=2T_k+3（${C}_{3k}^{0}+$C${\;}_{3k}^{1}$+${C}_{3k}^{2}$+…+${C}_{3k}^{3k}$-${C}_{3k}^{0}$-${C}_{3k}^{3}$-${C}_{3k}^{6}$-…-${C}_{3k}^{3k}$）
=2T_k+3（2^3k-T_k）
=3•8^k-T_k
=3•8^k-$\frac{1}{3}$[8^k+2（-1）^k]=$\frac{1}{3}$[8^k+1-2（-1）^k]=$\frac{1}{3}$[8^k+1+2（-1）^k+1]
∴当n=k+1时结论成立，
∴T_n=$\frac{1}{3}$[8ⁿ+2（-1）ⁿ]．

点评 本题考查了组合数公式的性质与应用，数学归纳法证明，属于中档题．