Question

17．某中学一名数学老师对全班50名学生某次考试成绩分男女生进行了统计（满分150分），其中120分（含120分）以上为优秀，绘制了如下的两个频率分布直方图：

（1）根据以上两个直方图完成下面的2×2列联表：

成绩性别	优秀	不优秀	总计
男生
女生
总计

（2）根据（1）中表格的数据计算，你有多大把握认为学生的数学成绩与性别之间有关系？
附：${{K}^2}=\frac{{n{{（{ad-bc}）}^2}}}{{（{a+b}）（{c+d}）（{a+c}）（{b+d}）}}$，其中n=a+b+c+d为样本容量

k0	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828
P（K2≥k0）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001

（3）若从成绩在[130，140]的学生中任取2人，设取到的2人中女生的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．

Answer 1

分析 （1）由已知可得列联表．
（2）由K²计算公式即可得出．
（3）成绩在[130，140]的学生中男生有0.008×10×50=4人，女生有0.004×10×50=2人．从6名学生中任取2人，共有$C_6^2=15$种选法，ξ的所有可能取值为0，1，2，利用超几何分布列计算公式即可得出．

解答 解：（1）

成绩性别	优秀	不优秀	总计
男生	13	10	23
女生	7	20	27
总计	20	30	50

…3分
（2）假设学生的数学成绩与性别之间没有关系…4分
${{K}^2}=\frac{{50×{{（{13×20-7×10}）}^2}}}{20×30×27×23}≈4.844＞3.841$…7分
∴有95%的把握认为学生的数学成绩与性别之间有关系；…8分
（3）成绩在[130，140]的学生中男生有0.008×10×50=4人，女生有0.004×10×50=2人．
从6名学生中任取2人，共有$C_6^2=15$种选法，ξ的所有可能取值为0，1，2…．…9分$P（ξ=0）=\frac{C_4^2C_2^0}{C_6^2}=\frac{6}{15}{\;}_{\;}{\;}_{\;}P（ξ=1）=\frac{C_4^1C_2^1}{C_6^2}=\frac{8}{15}$$P（ξ=2）=\frac{C_4^0C_2^2}{C_6^2}=\frac{1}{15}$
故ξ的分布列为

ξ	0	1	2
P	$\frac{6}{15}$	$\frac{8}{15}$	$\frac{1}{15}$

所求的期望为$E（ξ）=0×\frac{6}{15}+1×\frac{8}{15}+2×\frac{1}{15}=\frac{2}{3}$…12分．

点评 本题考查了独立性检验原理、超几何分布列计算公式及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．