Question

6．已知点P（cosα，sinα）在直线 y=-3x上，则tan（α-$\frac{π}{4}$）=2；$\frac{1+cos2α}{sin2α}$=$-\frac{1}{3}$；sin²α+5sinα•cosα=$-\frac{3}{5}$．

Answer 1

分析 把P坐标代入y=-3x，利用同角三角函数间的基本关系求出tanα的值，原式利用两角和与差的正切函数公式化简，把tanα的值代入计算即可求出tan（α-$\frac{π}{4}$）的值；将$\frac{1+cos2α}{sin2α}$利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，把tanα的值代入计算即可求出值．由sin²α+5sinα•cosα，利用同角三角函数基本关系式即可化简求值得解．

解答 解：∵点P（cosα，sinα）在直线y=-3x上，
∴sinα=-3cosα，即tanα=-3，
∴tan（α-$\frac{π}{4}$）=$\frac{tanα-1}{1+tanα}$=$\frac{-3-1}{1-3}$=2；
∴$\frac{1+cos2α}{sin2α}$=$\frac{2co{s}^{2}α}{2sinαcosα}$=$\frac{cosα}{sinα}$=$\frac{1}{tanα}$=-$\frac{1}{3}$．
∴sin²α+5sinα•cosα=$\frac{si{n}^{2}α+5sinαcosα}{si{n}^{2}α+co{s}^{2}α}$=$\frac{ta{n}^{2}α+5tanα}{ta{n}^{2}α+1}$=$\frac{9-15}{9+1}$=-$\frac{3}{5}$．
故答案为：2，$-\frac{1}{3}$，$-\frac{3}{5}$．

点评 此题考查了同角三角函数基本关系的运用，任意角的三角函数定义，以及两角的和与差的正切函数公式，熟练掌握基本关系是解本题的关键，属于基础题．