Question

1．已知函数 $f（x）=\left\{\begin{array}{l}-{x^2}，x≥0\\{x^2}+2x，x＜0\end{array}\right.$，则f（x）=-1的解是x=±1；不等式 f（f（x））≤3的解集为（-∞，$\sqrt{3}$]．

Answer 1

分析 ①分x≥0和x＜0时，求出f（x）=-1时x的值即可；
②令t=f（x），得出f（t）≤3，
利用分段函数求出t的取值范围，
再转化为关于x的不等式组，求出解集即可．

解答 解：①x≥0时，f（x）=-x²=-1，
解得x=±1，取x=1；
x＜0时，f（x）=x²+2x=-1，
解得x=-1；
∴f（x）=-1的解是x=±1；
②令t=f（x），即有f（t）≤3，
可得$\left\{\begin{array}{l}{t≥0}\\{{-t}^{2}≤3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{t＜0}\\{{t}^{2}+2t≤3}\end{array}\right.$，
解得t≥0或-3≤t＜0，
即$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{{-x}^{2}≥0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{{x}^{2}+2x≥0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{-3≤-{x}^{2}＜0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{{-3≤x}^{2}+2x＜0}\end{array}\right.$，
解得x=0或x≤-2或0＜x≤$\sqrt{3}$或-2＜x＜0，
综上，不等式f（f（x））≤3的解集为（-∞，$\sqrt{3}$]．
故答案为：x=±1，（-∞，$\sqrt{3}$]．

点评 本题考查了分段函数的应用问题，也考查了分类讨论思想的应用问题，是综合题．