Question

19．若不等式${（\frac{1}{2}）^{{x^2}-2ax}}＜{2^{3x+{a^2}}}$恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （0，1）
• B． $（\frac{3}{4}，+∞）$
• C． $（0，\frac{3}{4}）$
• D． $（-∞，\frac{3}{4}）$

Answer 1

分析 不等式恒成立化为x²-2ax＞-（3x+a²）恒成立，即△＜0，从而求出a的取值范围．

解答 解：不等式${（\frac{1}{2}）^{{x^2}-2ax}}＜{2^{3x+{a^2}}}$恒成立，
即${（\frac{1}{2}）}^{{x}^{2}-2ax}$＜${（\frac{1}{2}）}^{-（3x{+a}^{2}）}$恒成立，
即x²-2ax＞-（3x+a²）恒成立，
即x²-（2a-3）x+a²＞0恒成立，
∴△=（2a-3）²-4a²＜0，
即（2a-3+2a）（2a-3-2a）＜0，
解得a＞$\frac{3}{4}$；
∴实数a的取值范围是（$\frac{3}{4}$，+∞）．
故选：B．

点评 本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了转化思想，是中档题．