Question

14．已知函数$f（x）=A{cos^2}（ωx+φ）+1（{A＞0，ω＞0，0＜φ＜\frac{π}{2}}）$的最大值为3，f（x）的图象与y轴的交点坐标为（0，2），其相邻两条对称轴间的距离为2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2017）的值为（　　）

• A． 4030
• B． 4032
• C． 4033
• D． 4035

Answer 1

分析 将函数f（x）化简，根据最大值为3，f（x）的图象与y轴的交点坐标为（0，2），相邻两条对称轴间的距离为2，求解出解析式，根据周期，即可计算f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2017）的值．

解答 解：函数$f（x）=A{cos^2}（ωx+φ）+1（{A＞0，ω＞0，0＜φ＜\frac{π}{2}}）$，
化简可得：f（x）=A（$\frac{1}{2}$$+\frac{1}{2}$cos（2ωx+2φ）+1=$\frac{A}{2}$cos（2ωx+2φ）+$\frac{A+2}{2}$，
∵F（x）的最大值为3，即$\frac{A}{2}$+$\frac{A+2}{2}$=3，
∴A=2．
可得：f（x）=cos（2ωx+2φ）+2，
f（x）的图象与y轴的交点坐标为（0，2），
∴2=cos（2φ）+2．
∵0＜φ$＜\frac{π}{2}$，
∴φ=$\frac{π}{4}$．
相邻两条对称轴间的距离为2，
∴周期T=4，即$\frac{2π}{2ω}=4$，
ω=$\frac{π}{4}$．
∴f（x）=cos（$\frac{π}{2}$x+$\frac{π}{2}$）+2，
∴f（1）=cos（$\frac{π}{2}$+$\frac{π}{2}$）+2=1，
f（2）=cos（π+$\frac{π}{2}$）+2=2，
f（3）=cos（$\frac{3π}{2}$π+$\frac{π}{2}$）+2=3，
f（4）=cos（2π+$\frac{π}{2}$）+2=2，
∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=8，
∵周期T=4，
f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2017）=504[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（1）=504×8+1=4033．
故选C

点评 本题考查了三角函数的化简能力和解析式的求法，周期的计算和运用．属于中档题．