Question

11．解关于x的不等式：a（a-1）x²-（2a-1）x+1＞0，其中α∈R．

Answer 1

分析 把不等式化为（ax-1）[（a-1）x-1]＞0，讨论a＜0、a=0、0＜a＜1、a=1和a＞1时，不等式对应的解集即可．

解答 解：不等式a（a-1）x²-（2a-1）x+1＞0化为（ax-1）[（a-1）x-1]＞0；
①当a＜0时，a-1＜0，不等式为（x-$\frac{1}{a}$）（x-$\frac{1}{a-1}$）＞0，且$\frac{1}{a}$＜$\frac{1}{a-1}$；
解不等式得x＜$\frac{1}{a}$或x＞$\frac{1}{a-1}$；
②当a=0时，不等式为x+1＞0，解得x＞-1；
③当0＜a＜1时，a-1＜0，不等式为（x-$\frac{1}{a}$）（x-$\frac{1}{a-1}$）＜0，
解不等式得$\frac{1}{a-1}$＜x＜$\frac{1}{a}$；
④当a=1时，不等式为x-1＜0，解得x＜1；
⑤当a＞1时，a-1＞0，不等式为（x-$\frac{1}{a}$）（x-$\frac{1}{a-1}$）＞0，且$\frac{1}{a}$＜$\frac{1}{a-1}$，
解不等式得x＜$\frac{1}{a}$或x＞$\frac{1}{a-1}$；
综上，a＜0时，不等式的解集为（-∞，$\frac{1}{a}$）∪（$\frac{1}{a-1}$，+∞）；
a=0时，不等式的解集为（-1，+∞）；
0＜a＜1时，不等式的解集为（$\frac{1}{a-1}$，$\frac{1}{a}$）；
a=1时，不等式的解集为（-∞，1）；
a＞1时，不等式的解集为（-∞，$\frac{1}{a}$）∪（$\frac{1}{a-1}$，+∞）．

点评 本题考查了含有字母系数的不等式的解法与应用问题，是难题．