Question

1．已知函数f（x）=x²+$\frac{4}{{x}^{2}}$．
（1）求证：f（x）是偶函数；
（2）判断函数f（x）在（0，$\sqrt{2}$）和（$\sqrt{2}$，+∞）上的单调性并用定义法证明．

Answer 1

分析 （1）推导出x≠0，且f（-x）=f（x），由此能证明f（x）是偶函数．
（2）函数f（x）在（0，$\sqrt{2}$）单调递减，在（$\sqrt{2}$，+∞）上的单调递增．利用定义法能进行证明．

解答 证明：（1）∵函数f（x）=x²+$\frac{4}{{x}^{2}}$，
∴x≠0，且f（-x）=（-x）²+$\frac{4}{（-x）^{2}}$=${x}^{2}+\frac{4}{{x}^{2}}$=f（x），
∴f（x）是偶函数．
解：（2）函数f（x）在（0，$\sqrt{2}$）单调递减，在（$\sqrt{2}$，+∞）上的单调递增．
证明如下：
在（0，$\sqrt{2}$）上任取x₁，x₂，且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=${{x}_{1}}^{2}+\frac{4}{{{x}_{1}}^{2}}-{{x}_{2}}^{2}-\frac{4}{{{x}_{2}}^{2}}$
=（${{x}_{1}}^{2}-{{x}_{2}}^{2}$）+$\frac{4（{{x}_{2}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}）}{{{x}_{1}}^{2}{{x}_{2}}^{2}}$
=（${{x}_{1}}^{2}-{{x}_{2}}^{2}$）（1-$\frac{4}{{x}_{1}{x}_{2}}$），
∵x₁，x₂∈（0，$\sqrt{2}$），且x₁＜x₂，
∴${{x}_{1}}^{2}-{{x}_{2}}^{2}$＜0，1-$\frac{4}{{x}_{1}{x}_{2}}$＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，∴函数f（x）在（0，$\sqrt{2}$）上单调递减．
在（$\sqrt{2}$，+∞）上任取x₁，x₂，且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=${{x}_{1}}^{2}+\frac{4}{{{x}_{1}}^{2}}-{{x}_{2}}^{2}-\frac{4}{{{x}_{2}}^{2}}$
=（${{x}_{1}}^{2}-{{x}_{2}}^{2}$）+$\frac{4（{{x}_{2}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}）}{{{x}_{1}}^{2}{{x}_{2}}^{2}}$
=（${{x}_{1}}^{2}-{{x}_{2}}^{2}$）（1-$\frac{4}{{x}_{1}{x}_{2}}$），
∵x₁，x₂∈（$\sqrt{2}$，+∞），且x₁＜x₂，
∴${{x}_{1}}^{2}-{{x}_{2}}^{2}$＜0，1-$\frac{4}{{x}_{1}{x}_{2}}$＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，∴函数f（x）在（0，$\sqrt{2}$）上单调递增．

点评 本题考查偶函数的证明，考查函数的单调性的判断与证明，考查函数的奇偶性、单调性等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力，是基础题．