Question

12．公比为q（q≠1）的等比数列a₁，a₂，a₃，a₄，若删去其中的某一项后，剩余的三项（不改变原有顺序）成等差数列，则所有满足条件的q的取值的代数和为0．

Answer 1

分析 由题意可知a₂=a₁q，a₃=${a}_{1}{q}^{2}$，a₄=${a}_{1}{q}^{3}$，然后分别删去a₁，a₂，a₃，a₄，利用等差数列的性质列式求得q值，则答案可求．

解答 解：由题意知，a₂=a₁q，a₃=${a}_{1}{q}^{2}$，a₄=${a}_{1}{q}^{3}$．
若删去a₁，则$2{a}_{1}{q}^{2}={a}_{1}q+{a}_{1}{q}^{3}$，即q³-q²+q=0，解得q∈∅；
若删去a₂，则$2{a}_{1}{q}^{2}={a}_{1}+{a}_{1}{q}^{3}$，即q³-2q²+1=0，解得q=$\frac{1±\sqrt{5}}{2}$；
若删去a₃，则$2{a}_{1}q={a}_{1}+{a}_{1}{q}^{3}$，即q³-2q+1=0，解得q=$\frac{-1±\sqrt{5}}{2}$；
若删去a₄，则$2{a}_{1}q={a}_{1}+{a}_{1}{q}^{2}$，即q²-2q+1=0，解得q=1（舍）．
∴所有满足条件的q的取值的代数和为$\frac{1-\sqrt{5}}{2}+\frac{1+\sqrt{5}}{2}+\frac{-1-\sqrt{5}}{2}+\frac{-1+\sqrt{5}}{2}=0$．
故答案为：0．

点评 本题是等差数列与等比数列的综合题，考查等比数列的通项公式，考查等差数列的性质，是中档题．