Question

19．已知数列{a_n}，{b_n}中，a₁=1，a_n+1-（n+1）a_n=0，${b_1}^3+{b_2}^3+…+{b_n}^3={（{{b_1}+{b_2}+…+{b_n}}）^2}$且b_n＞0，n∈N^*．记n的阶乘n（n-1）（n-2）…3•2•1=n！
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）若${c_n}=\frac{b_n}{{a{\;}_{n+1}}}$，求证：${c_1}+{c_2}+…+{c_n}≥\frac{n}{n+1}{\;}_{\;}{\;}_{\;}（n∈{N^*}）$．

Answer 1

分析 （1）a_n+1-（n+1）a_n=0，通过递推即可得出a_n．
由${b_1}^3+{b_2}^3+…+{b_n}^3={（{{b_1}+{b_2}+…+{b_n}}）^2}$，${b_1}^3+{b_2}^3+…+{b_n}^3+{b_{n+1}}^3={（{{b_1}+{b_2}+…+{b_n}+{b_{n+1}}}）^2}$，两式作差得${b_{n+1}}^3=2（{b_1}+{b_2}+…+{b_n}）{b_{n+1}}+{b_{n+1}}^2$，再一次作差利用等差数列的通项公式即可得出．
（2）由（1）知${c_n}=\frac{b_n}{{a{\;}_{n+1}}}=\frac{n}{（n+1）!}=\frac{n+1-1}{（n+1）!}=\frac{1}{n!}-\frac{1}{（n+1）!}$，利用裂项求和方法与数列的单调性即可得出．

解答 （1）解：∵a_n+1-（n+1）a_n=0，
∴a_n=na_n-1=n（n-1）a_n-2=…=n（n-1）（n-2）…3•2•a₁
又a₁=1，∴a_n=n!…4分
由${b_1}^3+{b_2}^3+…+{b_n}^3={（{{b_1}+{b_2}+…+{b_n}}）^2}$，
${b_1}^3+{b_2}^3+…+{b_n}^3+{b_{n+1}}^3={（{{b_1}+{b_2}+…+{b_n}+{b_{n+1}}}）^2}$，
两式作差得${b_{n+1}}^3=2（{b_1}+{b_2}+…+{b_n}）{b_{n+1}}+{b_{n+1}}^2$，
$\begin{array}{l}∴{b_{n+1}}^2=2（{b_1}+{b_2}+…+{b_n}）+{b_{n+1}}\\∴{b_n}^2=2（{b_1}+{b_2}+…+{b_{n-1}}）+{b_n}{\;}_{\;}{\;}_{\;}（n≥2）\end{array}$，
两式作差得${b_{n+1}}^2-{b_n}^2={b_{n+1}}+{b_n}$，又b_n＞0，所以b_n+1-b_n=1（n≥2）…（*）
，而当n=1，2代入${b_1}^3+{b_2}^3+…+{b_n}^3={（{b_1}+{b_2}+…+{b_n}）^2}$且b_n＞0可直接求得b₁=1，b₂=2满足（*）
所以数列{b_n}是等差数列，故b_n=n…8分
（2）证明：由（1）知${c_n}=\frac{b_n}{{a{\;}_{n+1}}}=\frac{n}{（n+1）!}=\frac{n+1-1}{（n+1）!}=\frac{1}{n!}-\frac{1}{（n+1）!}$，所以
当n=1时，${c_1}=\frac{1}{2}≥\frac{1}{1+1}$不等式成立
当n≥2时，${c_1}+{c_2}+…+{c_n}=1-\frac{1}{2!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+…+\frac{1}{n!}-\frac{1}{（n+1）!}=1-\frac{1}{（n+1）!}＞1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$
综上知${c_1}+{c_2}+…+{c_n}≥\frac{n}{n+1}{\;}_{\;}{\;}_{\;}（n∈{N^*}）$….14分．

点评 本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、裂项求和方法方法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．