Question

19．已知函数f（x）=x²e^-ax-1（a是常数），
（1）求函数y=f（x）的单调区间；
（2）当x∈（0，16）时，函数f（x）有两个零点，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）通过当a=0时，判断函数的单调性，当a≠0时，求出f'（x），构造函数令g（x）=-ax²+2x=0，解得x=0或$x=\frac{2}{a}$，①当a＞0时，判断g（x）＜0，得到函数y=f（x）单调递减；函数g（x）=-ax²+2x在$[{0，\frac{2}{a}}]$上有g（x）≥0，即f'（x）≥0，函数y=f（x）单调递增；②当a＜0时，利用函数g（x）的符号，推出f'（x）＞0，函数y=f（x）的单调递增区间，递减区间；
（2）当x∈（0，16）时，函数f（x）有两个零点，利用函数的单调性，转化构造函数，通过函数的最值，列出不等式组求解a的范围．

解答 （本小题满分12分）
解：（1）根据题意可得，当a=0时，f（x）=x²-1，
函数在（0，+∞）上是单调递增的，在（-∞，0）上是单调递减的…（1分）
当a≠0时，f'（x）=2xe^-ax+x²（-a）e^-ax=e^-ax（-ax²+2x），因为e^-ax＞0，
令g（x）=-ax²+2x=0，解得x=0或$x=\frac{2}{a}$…（3分）
①当a＞0时，函数g（x）=-ax²+2x在（-∞，0），$（{\frac{2}{a}，+∞}）$上有g（x）＜0，
即f'（x）＜0，函数y=f（x）单调递减；函数g（x）=-ax²+2x在$[{0，\frac{2}{a}}]$上有g（x）≥0，
即f'（x）≥0，函数y=f（x）单调递增；…（4分）
②当a＜0时，函数g（x）=-ax²+2x在$（{-∞，\frac{2}{a}}）$，（0，+∞）上有g（x）＞0，
即f'（x）＞0，函数y=f（x）单调递增；
函数g（x）=-ax²+2x在$[{\frac{2}{a}，0}]$上有g（x）≤0，即f'（x）≤0，函数y=f（x）单调递减；…（5分）
综上所述，当a=0时，函数y=f（x）的单调递增区间（0，+∞），递减区间为（-∞，0）；
当a＞0时，函数y=f（x）的单调递减区间为（-∞，0），$（{\frac{2}{a}，+∞}）$，递增区间为$[{0，\frac{2}{a}}]$；
当a＜0时，函数y=f（x）的单调递增区间为$（{-∞，\frac{2}{a}}）$，（0，+∞），递减区间为$[{\frac{2}{a}，0}]$；…（6分）
（2）当x∈（0，16）时，函数f（x）有两个零点，
所以函数f（x）在（0，16）内不是单调函数；
而-ax²+2x=0的两个零点为x=0，$x=\frac{2}{a}$，所以$\frac{2}{a}∈（{0，16}）$，解得$a＞\frac{1}{8}$①；…（8分）
又由（1）可知：$x∈（{0，\frac{2}{a}}）$时，f′（x）＞0，f（x）是增函数，
$x∈（{\frac{2}{a}，16}）$时，f′（x）＜0，f（x）是减函数，
∴在（0，16）上${f_{max}}（x）=f（{\frac{2}{a}}）=\frac{4}{a^2}{e^{-2}}-1$；
令$\frac{4}{a^2}{e^{-2}}-1＞0$，解得$-\frac{2}{e}＜a＜\frac{2}{e}$②；…（10分）
又$\left\{\begin{array}{l}f（0）＜0\\ f（{16}）＜0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}-1＜0\\ 256{e^{-16a}}-1＜0\end{array}\right.$，解得$a＞\frac{1}{2}ln2$③；…（11分）
由①②③组成不等式组，解得$\frac{1}{2}ln2＜a＜\frac{2}{e}$；
∴实数a的取值范围是$\frac{1}{2}ln2＜a＜\frac{2}{e}$…（12分）

点评 本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，构造法的应用，二次求导，考查分析问题解决问题的能力，难度比较大．