Question

11．数列{a_n}满足a₁=1，且对于任意的n∈N^*都满足${a_{n+1}}=\frac{a_n}{{3{a_n}+1}}$，则数列{a_na_n+1}的前10项和为$\frac{10}{31}$．

Answer 1

分析 对于任意的n∈N^*都满足${a}_{n+1}=\frac{{a}_{n}}{3{a}_{n}+1}$，两边取倒数可得：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$+3，即$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=3，再利用等差数列的通项公式、裂项求和方法即可得出．

解答 解：对于任意的n∈N^*都满足${a}_{n+1}=\frac{{a}_{n}}{3{a}_{n}+1}$，
两边取倒数可得：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$+3，即$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=3，
∴数列$\{\frac{1}{{a}_{n}}\}$为等差数列，公差为3，首项为1．
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+3（n-1）=3n-2．
∴a_n=$\frac{1}{3n-2}$．
∴a_na_n+1=$\frac{1}{（3n-2）（3n+1）}$=$\frac{1}{3}（\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}）$．
则数列{a_na_n+1}的前n项和=$\frac{1}{3}[（1-\frac{1}{4}）+（\frac{1}{4}-\frac{1}{7}）$+…+$（\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}）]$
=$\frac{1}{3}（1-\frac{1}{3n+1}）$=$\frac{n}{3n+1}$．
∴则数列{a_na_n+1}的前10项和=$\frac{10}{31}$．
故答案为：$\frac{10}{31}$．

点评 本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式及其性质、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．