Question

20．已知函数f（x）=ax+$\frac{1}{{x}^{2}}$（a∈R）．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（Ⅱ）若函数f（x）在x∈[2，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）讨论a=0和a≠0时，f（x）的奇偶性即可；
（Ⅱ）对f（x）求导，利用导数判断f（x）的单调性，
求出f（x）在区间[2，+∞）上是增函数时a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=ax+$\frac{1}{{x}^{2}}$，
a=0时，f（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$为偶函数；
a≠0时，由于f（-x）=-x+$\frac{1}{{x}^{2}}$，
f（x）=x+$\frac{1}{{x}^{2}}$，
∴f（x）≠±f（x），
∴f（x）既不是奇函数也不是偶函数；
（Ⅱ）f（x）=ax+$\frac{1}{{x}^{2}}$，∴f′（x）=a-$\frac{2}{{x}^{3}}$，
令f′（x）=0，则a-$\frac{2}{{x}^{3}}$=0，
解得x=$\root{3}{\frac{2}{a}}$，
令$\root{3}{\frac{2}{a}}$=2，解得a=$\frac{1}{4}$；
又f（x）在区间[2，+∞）是增函数，
∴f′（x）≥0在x∈[2，+∞）上恒成立，
实数a的取值范围是[$\frac{1}{4}$，+∞）．

点评 本题考查了函数的奇偶性与单调性应用问题，也考查了导数的应用问题，是中档题．