Question

设函数f(x)=|x²-4x-5|.

(1)在区间［-2,6］上画出函数f(x)的图像(如图)；

(2)设集合A={x|f(x)≥5},B=(-∞,-2］∪［0,4］∪［6,+∞).试判断集合A和B之间的关系，并给出证明；

(3)当k＞2时，求证：在区间［-1,5］上，y=kx+3k的图像位于函数f(x)图像的上方.

Answer 1

思路分析：(1)可以利用对称变换作图法或将函数的解析式化为分段函数；(2)利用图像解不等式f(x)≥5；应用定义证明集合A和B之间的关系；(3)转化为证明：当k＞2时，在x∈［-1,5］上，kx+3k-f(x)＞0恒成立即可.

解：(1)f(x)=|x²-4x-5|=其图像如图所示.

(2)方程f(x)=5的解分别是x=2,0,4，2+，观察(1)图，

可得f(x)≥5的解是x≤2，或0≤x≤4，或x≥2+.

则A={x|x≤2，或0≤x≤4，或x≥2+}.

∵2+＜6，2＞-2,

∴BA.

(3)当x∈［-1,5］时，f(x)=-x²+4x+5.设g(x)=kx+3k-f(x)，

则g(x)=kx+3k-(-x²+4x+5)=x²+(k-4)x+(3k-5)=(x)².∵k＞2,∴＜1.又-1≤x≤5，

①当-1≤＜1，即2＜k≤6时，取x=，

g(x)_min=［(k-10)²-64］.

∵16≤(k-10)²＜64,∴(k-10)²-64＜0.则g(x)_min＞0.

②当＜-1，即k＞6时，取x=-1，g(x)_min=2k＞0.

由①②，可知当k＞2时，在x∈［-1,5］上，g(x)＞0.

因此，在区间［-1,5］上，y=k(x+3)的图像位于函数f(x)图像的上方.