Question

10．有下列五个命题：
①在平面内，F₁、F₂是定点，|F₁F₂|=6，动点M满足|MF₁|+|MF₂|=6，则点M的轨迹是椭圆；
②“在△ABC中，∠B=60°”是“∠A，∠B，∠C三个角成等差数列”的充要条件；
③“x=0”是“x≥0”的充分不必要条件；
④已知向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b，\overrightarrow c$是空间的一个基底，则向量$\overrightarrow a+\overrightarrow b，\overrightarrow a-\overrightarrow b，\overrightarrow c$也是空间的一个基底；
⑤直线l₁：ax+3y-1=0，l₂：x+by+1=0，则l₁⊥l₂的充要条件是$\frac{a}{b}=-3$．
其中真命题的序号是③④．

Answer 1

分析 ①利用椭圆的定义即可判断出，不正确；
②在△ABC中，“∠B=60°”是∠A，∠B，∠C三个角成等差数列的充要条件，由内角和及等差数列的性质判断；
③“x=0”是“x≥0”的必要不充分条件；
④向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b，\overrightarrow c$不共面，则$\overrightarrow a+\overrightarrow b，\overrightarrow a-\overrightarrow b，\overrightarrow c$也不共面；
⑤由两直线垂直的条件进行判断．

解答 解：①已知F₁，F₂为两个定点，|F₁F₂|=4，动点M满足|MF₁|+|MF₂|=4，则动点M的轨迹是线段F₁F₂，不正确；
②在△ABC中，∠A，∠B，∠C三个角成等差数列时，可知2∠B=∠A+∠C，由内角和可知“∠B=60°，反之不一定成立，故命题不正确；
③“x=0”是“x≥0”的必要不充分条件，不正确；
④已知向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b，\overrightarrow c$是空间的一个基底，即向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b，\overrightarrow c$不共面，则$\overrightarrow a+\overrightarrow b，\overrightarrow a-\overrightarrow b，\overrightarrow c$也不共面，所以向量$\overrightarrow a+\overrightarrow b，\overrightarrow a-\overrightarrow b，\overrightarrow c$也是空间的一个基底，正确；
⑤已知直线l₁：ax+3y-1=0，l₂：x+by+1=0．则l₁⊥l₂的充要条件为$\frac{a}{b}=-3$，若两直线垂直时，两直线斜率存在时，斜率乘积为$\frac{a}{b}=-3$，当a=0，b=0时，此时两直线垂直，但不满足$\frac{a}{b}=-3$，故不正确．
故答案为：③④．

点评 本题考查了椭圆的定义、等比数列的性质、充分必要条件、基底、两直线垂直的条件，考查了推理能力，属于中档题．