Question

【题目】已知椭圆中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,且经过三点.

(1)求椭圆的方程;

(2)在直线上任取一点,连接,分别与椭圆交于两点,判断直线是否过定点?若是,求出该定点.若不是,请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】试题分析：由于椭圆过两个不同的点，故可设椭圆方程为，代入已知点的坐标，可以椭圆的方程.（2）的直线均是过顶点的直线，故通过联立方程组可以得到两点的坐标，再根据椭圆及其动点的对称性可以知道定点如果存在，则必定在轴上，猜出定点的坐标为，最后利用斜率证明三点共线.

（1）设椭圆方程为， 将代入椭圆方程得到，计算得出，所以椭圆方程为.

（2）直线，直线，联立得，所以，故，代入得到，因此.同理.取，

当时， ， ，所以三点共线；

当时， ， 三点共线；

综上， 三点共线也就是过定点.