Question

8．已知△ABC中，a：b：c=2：$\sqrt{6}$：（$\sqrt{3}$+1），求△ABC各角的度数．

Answer 1

分析 由题意可设：a=2x，b=$\sqrt{6}$x，c=（$\sqrt{3}$+1）x，利用余弦定理可求得cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，结合范围∠A∈（0，180°），可得∠A，同理可得∠B，由三角形内角和定理即可求得角C．

解答 解：∵a：b：c=2：$\sqrt{6}$：（$\sqrt{3}$+1），
∴可设：a=2x，b=$\sqrt{6}$x，c=（$\sqrt{3}$+1）x，
利用余弦定理可得：cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{6+（\sqrt{3}+1）^{2}-4}{2×\sqrt{6}×（\sqrt{3}+1）}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴由∠A∈（0，180°），可得：∠A=45°，
同理可以求得：cosB=$\frac{1}{2}$，可得∠B=60°．
∴C=180°-45°-60°=75°．

点评 本题主要考查了余弦定理的应用，属于基本知识的考查．