Question

已知函数．

(1)证明：存在，使；

(2)设=0，，，，其中=1，2，…，证明：；

(3)证明：．

Answer 1

解：(1)令g()=()一，则g(0)=(0)一0=，

g()=()一=－  

又g()在[0，]上连续，所以存在₀∈(0，)使g(₀)=0，即(₀)= ₀

(2)∵()=3²－2+=3(一)²+>0

∴()是R上的单调增函数

∴0<₀<，即₁<₀<y₁，又()是增函数

∴(₁) <(₀)<(y₁)，即₂<₀<y₂

又₂=(₁)=(0)=>0=₁，

y₂=(y₁)=()=< =y₁

综上，₁<₁<₀<y₂<y₁．

用数学归纳法证明如下：

①当=1时，上面已证明成立；

②假设当=k(k≥1)时，有_k<_k+1<₀<y_k+1<y_k   

当=k+1时，由()是单调递增函数，有(_k)<(₀)<(y_k+1)<(y_k)

即_k+1<_k+2<₀<y_k+2<y_k+1

由①和②知，对一切=1，2，…，都有_n<_n+1<₀<y_n+1<y_n

(3)方法一：∵0≤_n≤y_n≤，

∴0≤_ny_n，0<_n+y_n<1得一<_n+y_n一<

     ∴=

               =

               ≤(+)²一(+)+

               =(+－)²+<，

即-<(-)．

方法二：0≤≤≤，∴0<+<1

∴

                 =

                 =

                 <

                 =

即。