Question

14．如图，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面为直角梯形，∠BAD=90°，且AB=BC=AA₁=10，AD=2DC=8．
（1）E为AB上一点，C₁E∥平面AA₁D₁D，确定E的位置；
（2）F为AA₁中点，求FC₁与侧面BB₁C₁C所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）由CC₁∥平面AA₁D₁D可知当C₁E∥平面AA₁D₁D时，平面C₁CE∥平面AA₁D₁D，故而CE∥AD，于是AE=CD；
（2）以A为原点建立坐标系，求出$\overrightarrow{F{C}_{1}}$和平面BB₁C₁C的法向量$\overrightarrow{n}$，则|cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{F{C}_{1}}$＞|即为所求．

解答 解：（1）当AE=CD=4时，C₁E∥平面AA₁D₁D，
连接CE．∵四边形ABCD是直角梯形，∠BAD=90°，AB=BC=10，AD=2DC=8．
∴CD∥AB．又AE=CD，
∴四边形ADCE是矩形，
∴CE∥AD，∵AD?平面AA₁D₁D，CE?平面AA₁D₁D，
∴CE∥平面AA₁D₁D，
同理可得：CC₁∥平面AA₁D₁D，又CE?平面CC₁E，CC₁?平面CC₁E，CE∩CC₁=C，
∴平面C₁CE∥平面AA₁D₁D，
∵C₁E?平面CC₁E，
∴C₁E∥平面AA₁D₁D．
（2）以A为原点，以AB，AD，AA₁为坐标轴建立空间直角坐标系A-xyz，如图所示：
则F（0，0，5），B（10，0，0），C（4，8，0），B₁（10，0，10），C₁（4，8，10），
∴$\overrightarrow{F{C}_{1}}$=（4，8，5），$\overrightarrow{B{B}_{1}}$=（0，0，10），$\overrightarrow{BC}$=（-6，8，0），
设平面BB₁C₁C的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{B{B}_{1}}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{10z=0}\\{-6x+8y=0}\end{array}\right.$，令x=4，得$\overrightarrow{n}$=（4，3，0），
∴cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{F{C}_{1}}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{F{C}_{1}}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{F{C}_{1}}|}$=$\frac{8\sqrt{105}}{105}$．
∴FC₁与侧面BB₁C₁C所成角的正弦值为$\frac{8\sqrt{105}}{105}$．

点评 本题考查了线面平行的判定，空间向量的应用与线面角的计算，属于中档题．