Question

4．如图，已知直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD为菱形，且∠BCD=60°，P为AD₁的中点，Q为BC的中点
（1）求证：PQ∥平面D₁DCC₁；
（2）求证：DQ⊥平面B₁BCC₁．

Answer 1

分析 （1）过P作PM∥AD交D₁D于M，连接MC，则M为D₁D的中点，证明四边形PMCQ是平行四边形，可得PQ∥MC，即可证明PQ∥平面D₁DCC₁；
（2）证明B₁B⊥DQ，DQ⊥BC，利用线面垂直的判定定理证明：DQ⊥平面B₁BCC₁．

解答 证明：（1）过P作PM∥AD交D₁D于M，连接MC，则M为D₁D的中点，
∴PM∥AD，PM=$\frac{1}{2}$AD，
∵AD∥BC，Q为BC的中点，
∴PM∥QC，PM=QC，
∴四边形PMCQ是平行四边形，
∴PQ∥MC，
∵PQ?平面DCC₁D₁，MC?平面DCC₁D₁，
∴PQ∥平面DCC₁D₁．
（2）在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，B₁B⊥平面ABCD，DQ?平面ABCD，
∴B₁B⊥DQ，
在菱形ABCD中，DC=BC，∠BCD=60°，∴△BCD为正三角形，故DB=DC，
∵Q为BC的中点，
∴DQ⊥BC，
∵B₁B∩BC=B，
∴DQ⊥平面B₁BCC₁．

点评 本题考查线面平行、垂直的判定定理，考查学生分析解决问题的能力，正确运用线面平行、垂直的判定定理是关键．