Question

15．函数y=$\frac{x-1}{{x}^{2}-2x+5}$，x∈[3，5]的最大值与最小值分别是（　　）

• A． $\frac{1}{5}$，$\frac{1}{6}$
• B． $\frac{1}{4}$，$\frac{1}{5}$
• C． $\frac{1}{3}$，$\frac{1}{4}$
• D． $\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 令t=x-1，求得t的范围，化函数y为$\frac{1}{t+\frac{4}{t}}$，求出t+$\frac{4}{t}$的导数，判断单调性，即可得到所求最值．

解答 解：函数y=$\frac{x-1}{{x}^{2}-2x+5}$=$\frac{x-1}{（x-1）^{2}+4}$，
令t=x-1，由3≤x≤5，可得2≤t≤4，
则函数y=$\frac{t}{{t}^{2}+4}$=$\frac{1}{t+\frac{4}{t}}$，
f（t）=t+$\frac{4}{t}$的导数为f′（t）=1-$\frac{4}{{t}^{2}}$，
由2≤t≤4，可得f′（t）≥0，
可得t+$\frac{4}{t}$在[2，4]递增，即有t+$\frac{4}{t}$∈[4，5]，
则函数y的最小值为$\frac{1}{5}$，最大值为$\frac{1}{4}$．
故选：B．

点评 本题考查函数的最值的求法，注意运用换元法和导数判断单调性，考查运算能力，属于中档题．