Question

12、f（x）是定义在R上的偶函数，当x＜0时，f（x）+x•f'（x）＜0，且f（-4）=0，则不等式xf（x）＞0的解集为（　　）

A、（-4，0）∪（4，+∞）

B、（-4，0）∪（0，4）

C、（-∞，-4）∪（4，+∞）

D、（-∞，-4）∪（0，4）

Answer 1

分析：由题意构造函数g（x）=xf （x），再由导函数的符号判断出函数g（x）的单调性，由函数f（x）的奇偶性得到函数g（x）的奇偶性，由f（-4）=0得g（4）=0、还有g（-4）=0，再通过奇偶性进行转化，利用单调性求出不等式得解集．

解答：解：设g（x）=xf（x），则g'（x）=[xf（x）]'=x'f（x）+xf'（x）=xf′（x）+f（x）＜0，
∴函数g（x）在区间（-∞，0）上是减函数，
∵f（x）是定义在R上的偶函数，
∴g（x）=xf（x）是R上的奇函数，
∴函数g（x）在区间（0，+∞）上是减函数，
∵f（-4）=0，
∴f（4）=0；
即g（4）=0，g（-4）=0
∴xf（x）＞0化为g（x）＞0，
设x＞0，故不等式为g（x）＞g（4），即0＜x＜4
设x＜0，故不等式为g（x）＞g（-4），即x＜-4
故所求的解集为（-∞，-4）∪（0，4）
故选D．

点评：本题考查了由条件构造函数和用导函数的符号判断函数的单调性，利用函数的单调性和奇偶性的关系对不等式进行转化，注意函数值为零的自变量的取值．