Question

已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且x≥0时，f（x）=（

1

2

）^x，函数f（x）的值域为集合A．
（Ⅰ）求f（-1）的值；
（Ⅱ）设函数g（x）=

-x2+(a-1)x+a

的定义域为集合B，若A⊆B，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）题目给出函数f（x）是定义在R上的偶函数，且给出x≥0时的解析式，则f（1）可求，由偶函数的性质可求f（-1）的值；
（Ⅱ）由x得范围求出f（x）的值域，由根式内部的代数式大于等于0求出定义域，再由A⊆B结合数轴可求a的取值范围．

解答：解：（I）∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，
∴f（-1）=f（1）．
又x≥0时，f（x）=(

1

2

)x，
∴f（1）=

1

2

．
则f（-1）=

1

2

．
（II）由函数f（x）是定义在R上的偶函数，可得函数f（x）的值域A即为
x≥0时的f（x）的取值集合．
当x≥0时，0＜(

1

2

)x≤1．
故函数f（x）的值域A=（0，1]．
∵g（x）=

-x2+(a-1)x+a

．
∴定义域B={x|-x²+（a-1）x+a≥0}．
由-x²+（a-1）x+a≥0，得
x²-（a-1）x-a≤0，
即 （x-a）（x+1）≤0．
∵A⊆B，

∴B=[-1，a]且a≥1．
∴实数a的取值范围是{a|a≥1}．

点评：本题考查了函数的定义域及其求法，考查了集合间的关系及其应用，训练了含字母的一元二次不等式的解法，是基础题．