Question

设f（x）是定义在R上的函数，且对任意实数x，恒有f（x+2）=-3f（x）．当x∈[0，2]时，f（x）=2x-x²．则f（0）+f（-1）+f（-1）+…+f（-2014）=（　　）

• A、-

  3

  4

  （1-3¹⁰⁰⁷）
• B、-

  3

  4

  （1+3¹⁰⁰⁷）
• C、-

  1

  4

  （1-

  1

  31007

  ）
• D、-

  1

  4

  （1+

  1

  31007

  ）

Answer 1

分析：根据f（x+2）=-3f（x）以及x∈[0，2]时，f（x）=2x-x²，可以发现f（0）=f（-2）=…=f（-2014）=0，从而将所求表达式分成两组求和，而根据

f(x)

f(x+2)

=-

1

3

，发现f（-1），f（-3），…，f（-2013）构成一个等比数列，运用等比数列求和即可求得结果，最后两组和相加即可得到所要求解的答案．

解答：解：∵当x∈[0，2]时，f（x）=2x-x²，
∴当x=0时，f（0）=0，当x=1时，f（1）=1，
又∵f（x+2）=-3f（x），
∴当x=-2时，f（0）=-3f（-2），故f（-2）=0，
当x=-1时，f（1）=-3f（-1），故f（-1）=-

1

3

，
以此类推，f（-4）=f（-6）=…=f（-2014）=0，
故f（0）+f（-2）+f（-4）+…+f（-2014）=0，
∵f（x+2）=-3f（x），
∴

f(x)

f(x+2)

=-

1

3

，
故f（-1），f（-3），f（-5），…，f（-2013）构成以f（-1）为首项，-

1

3

为公比的等比数列，
∴f（-1）+f（-3）+f（-5）+…+f（-2013）=

- 1 3 ×[1-(- 1 3 )1007]

1-(- 1 3 )

=-

1

4

(1+

1

31007

)，
∴f（0）+f（-1）+f（-1）+…+f（-2014）=[f（0）+f（-2）+f（-4）+…+f（-2014）]+[f（-1）+f（-3）+f（-5）+…+f（-2013）]=0+-

1

4

(1+

1

31007

)=-

1

4

(1+

1

31007

)，
∴f（0）+f（-1）+f（-1）+…+f（-2014）=-

1

4

(1+

1

31007

)．
故选：D．

点评：本题考查了抽象函数及其应用，函数的求值问题，涉及了等比数列的定义以及等比数列的求和．对于抽象函数的求值一般利用赋值法求解．解决本题的关键是将f（0）+f（-1）+f（-1）+…+f（-2014）分解成两组进行求解，一组的和恒为定值0，另一组构成了等比数列求和．属于中档题．