Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左顶点A（-2，0），过右焦点F且垂直于长轴的弦长为3．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若过点A的直线l与椭圆交于点Q，与y轴交于点R，过原点与l平行的直线与椭圆交于点P，求证：

|AQ|•|AR|

|OP|2

为定值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依题意，可求得a=2，b²=3，从而可得椭圆C的方程；
（Ⅱ）由题意知，直线AQ，OP斜率存在，故设为k，则直线AQ的方程为y=k（x+2），直线OP的方程为y=kx．可得R（0，2k），|AR|=2

1+k2

，A（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），联立方程组

y=k(x+2) x2 4 + y2 3 =1

，得：（4k²+3）x²+16k²x+16k²-12=0，利用韦达定理可得x₁+x₂=-

16k2

4k2+3

，x₁x₂=

16k2-12

4k2+3

，从而求得|AQ|=

12 1+k2

4k2+3

；再设y=kx与椭圆交另一点为M（x₃，y₃），P（x₄，y₄），可求得，|x₄|=

12 4k2+3

，从而得|OP|=

1+k2

•

12 4k2+3

；继而可求得

|AQ|•|AR|

|OP|2

的值．

解答：解：（1）a=2，设过右焦点F且垂直于长轴的弦为MN，将M（c，y_M）代入椭圆方程

c2

a2

+

y 2 M

b2

=1，解得y_M=±

b2

a

，…（2分）
故

2b2

a

=3，可得b²=3．                                                …（4分）
所以，椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1．                                        …（6分）
（2）由题意知，直线AQ，OP斜率存在，故设为k，则直线AQ的方程为y=k（x+2），直线OP的方程为y=kx．可得R（0，2k），
则|AR|=2

1+k2

，…（8分）
设A（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），联立方程组

y=k(x+2) x2 4 + y2 3 =1

，
消去y得：（4k²+3）x²+16k²x+16k²-12=0，
x₁+x₂=-

16k2

4k2+3

，x₁x₂=

16k2-12

4k2+3

，
则|AQ|=

1+k2

|x₁-x₂|=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=

12 1+k2

4k2+3

．      …（11分）
设y=kx与椭圆交另一点为M（x₃，y₃），P（x₄，y₄），联立方程组

y=kx x2 4 + y2 3 =1

，
消去y得（4k²+3）x²-12=0，|x₄|=

12 4k2+3

，
所以|OP|=

1+k2

|x₄|=

1+k2

•

12 4k2+3

．                             …（13分）
故

|AQ|•|AR|

|OP|2

=

2 1+k2 12 1+k2 4k2+3

( 1+k2 12 4k2+3 )2

=2．
所以

|AQ|•|AR|

|OP|2

等于定值2…（15分）

点评：本题主要考椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力，属于难题．