Question

（2008•湖北模拟）如图，已知四棱锥S-ABCD中，△SAD是边长为a的正三角形，平面SAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为菱形，∠DAB=60°，P为AD的中点，Q为SB的中点．
（Ⅰ）求证：PQ∥平面SCD；
（Ⅱ）求二面角B-PC-Q的大小．

Answer 1

分析：（1）取SC的中点R，连QR，DR，PD∥BC且PD=

1

2

BC，QR∥BC且QP=

1

2

BC，由公理4得PQ∥DR，从而有PQ∥面SCD．
（2）以P为坐标原点，PA为x轴，PB为y轴，PS为z轴建立空间直角坐标系，只要求得两半平面的一个法向量即可，先求得相关点的坐标，进而得到相关向量的坐标，然后用向量的夹角公式求解．

解答：证明：（1）证明取SC的中点R，连QR，DR．
由题意知：PD∥BC且PD=

1

2

BC；
QR∥BC且QP=

1

2

BC，∴QR∥PD且QR=PD．∴PQ∥DR，又PQ?面SCD，∴PQ∥面SCD．（6分）
（2）解：以P为坐标原点，PA为x轴，PB为y轴，PS为z轴建立空间直角坐标系，
则S（0，0，

3

2

a），B（0，

3

2

a，0），C（-a，

3

2

a，0），Q（0，

3

4

a，

3

4

a）．
面PBC的法向量为

PS

=（0，0，

3

2

a），设

n

=(x，y，z)为面PQC的一个法向量，
由

n • PQ =0 n • PC =0

⇒

3 4 ay+ 3 4 az=0 -ax+ 3 4 ay=0

⇒

n

=(

3

2

，

3

，-

3

)，
cos＜

n

，

PS

＞=

- 3 2 a

3 2 a× 33 2

=-

2

11

=-

2

11

11

，
∴二面角B-PC-Q的大小为arccos

2 11

11

．（12分）

点评：本题主要考查线线，线面，面面平行关系的转化及平面图形的应用，还考查了向量法在求二面角中的应用，属中档题．