Question

7．已知正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为a，点P是平面AA′D′D的中心，Q为B′D′上一点，且PQ∥平面AA′B′B，求线段PQ的长．

Answer 1

分析 过P作PF⊥AA′，交AA′于F，取B′D′中点Q，过Q作QE⊥A′B′，交A′B′于E，连结PQ，QE，则PFEQ是矩形，PQ$\underset{∥}{=}$EF，由此能求出PQ．

解答 解：过P作PF⊥AA′，交AA′于F，取B′D′中点Q，过Q作QE⊥A′B′，交A′B′于E，
连结PQ，QE，
则PFEQ是矩形，PQ$\underset{∥}{=}$EF，
∵PQ?平面AA′B′B，EF?平面AA′B′B，
∴PQ∥平面AA′B′B，
此时A′F=A′E=$\frac{a}{2}$，
∴PQ=EF=$\sqrt{\frac{{a}^{2}}{4}+\frac{{a}^{2}}{4}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}a$．

点评 本题考查线段长的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．