Question

【题目】如图，在四棱柱中， 平面， ， ， ， ， 为的中点.

（Ⅰ）求四棱锥的体积；

（Ⅱ）设点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度；

（Ⅲ）判断线段上是否存在一点，使得？（结论不要求证明）

Answer 1

【答案】（Ⅰ）1（Ⅱ）（Ⅲ）见解析

【解析】试题分析：（Ⅰ）易证得平面，利用求解即可；

（Ⅱ）分别以， ， 所在直线为轴， 轴， 轴，如图建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量为，设，由求解即可；

（Ⅲ）易得对于线段上任意一点，直线与直线都不平行.

试题解析：

（Ⅰ）因为平面， 平面，

所以.

又因为， ，

所以平面.

因为，

所以四棱锥的体积.

（Ⅱ）由平面， ，可得， ， 两两垂直，所以分别以， ， 所在直线为轴， 轴， 轴，如图建立空间直角坐标系，

则， ， ， ， .

所以， ， ， .

设平面的一个法向量为，

由， ，得

令，得.

设，其中，

则，

记直线与平面所成角为，

则，

解得（舍），或.

所以，

故线段的长度为.

（Ⅲ）对于线段上任意一点，直线与直线都不平行.