Question

已知A、B为锐角，证明A+B=的充要条件是(1+tanA)(1+tanB)=2.

Answer 1

证明:(先证充分性)

由(1+tanA)(1+tanB)=2,

即1+(tanA+tanB)+tanA·tanB=2,

得tan(A+B)［1-tanAtanB］

=1-tanA·tanB.

∴tan(A+B)=1.

又0＜A+B＜π,∴A+B=.

(再证必要性)

由A+B=,得=1,

整理得(1+tanA)(1+tanB)=2.

点评：可类似地证明以下命题：

(1)若α+β=，则(1-tanα)(1-tanβ)=2；

(2)若α+β=，则(1+tanα)(1+tanβ)=2；

(3)若α+β=，则(1-tanα)(1-tanβ)=2.