Question

已知两点M（0，1）N（0，-1），平面上动点P（x，y）满足|

NM

|•|

MP

|+

MN

•

NP

=0．
（Ⅰ）求动点P（x，y）的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设Q（0，m），R（0，-m）（m≠0）是y轴上两点，过Q作直线与曲线C交于A、B两点，试证：直线RA、RB与y轴所成的锐角相等；
（Ⅲ）．在Ⅱ的条件中，若m＜0，直线AB的斜率为1，求△RAB面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）先根足|

NM

|•|

MP

|+

MN

•

NP

=0．把M，N和p的坐标代入整理得x²=4y，进而可得P点的轨迹方程．
（2）设直线l的方程，与抛物线方程联立消去y，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），根据韦达定理可得x₁+x₂和x₁x₂，要证明直线RA、RB与y轴所成的锐角相等，只要证明k_RA+k_RB=0，进而表示出两直线斜率，相加正好得0．
（3）根据斜率为1可得直线AB的方程，与抛物线方程联立消去y，根据判别式大于0求得m的范围，根据x₁+x₂和x₁x₂，表示出|AB|．记点R到AB的距离为d，dR-AB=

2

|m|，进而表示出△RAB面积，判别出关于m的函数的单调性，进而可求得△RAB面积的最大值．

解答：解：（Ⅰ）∵|

NM|

•|

MP|

+

MN

•

NP

=0，
∴2

x2+(y-1)2

+(0，-2)•(x，y+1)=0
化简整理得x²=4y∴动点P（x，y）的轨迹C为抛物线，其方程为：x²=4y；
（Ⅱ）∵过Q作直线l与抛物线C交于A、B两点，∴l的斜率k存在
设直线l：y=kx+m与x²=4y联立，

y=kx+m x2=4y

消去y得x²-4kx-4m=0，
则此方程有两个不相等的实数根，
∴△=16k²+16m＞0，*
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=4k，x₁x₂-4m，
要证直线RA、RB与y轴所成的锐角相等，
只要证明k_RA+k_RB=0
∵y1=

x 2 1

4

，y2=

x 2 2

4

∴kRA+kRB=

y1+m

x1

+

y2+m

x2

=

x 2 1 4 +m

x1

+

x 2 2 4 +m

x2

=

x1

4

+

m

x1

+

x2

4

+

m

x2

=

1

4

(x1+x2)+

m(x1+x2)

x1x2

=(x1+x2)(

1

4

+

m

-4m

)=0，
∴命题成立．
Ⅲ．若直线AB的斜率k=1，
∴直线x-y+m=0，由Ⅱ．知消去y得x²-4x-4m=0，
由*式△＞0得m＞-1，∴-1＜m＜0，
且x₁+x₂=4，x₁x₂-4m|AB|=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=4

2(1+m)

，
记点R到AB的距离为d，dR-AB=

2

|m|，
S△RAB=

1

2

|AB|•d=4

1+m

|m|=4

m3+m2

，
设f（m）=m³+m²f′（m）=3m²+2m令f′（x）＞0知f（m）
在(-1，-

2

3

)递增，在(-

2

3

，0)递减，
∴当m=-

2

3

时f（m）有最大值，故S_△RAB最大值为

8 3

9

．

点评：本题主要考查了抛物线的标准方程和直线与抛物线的关系．直线与圆锥曲线的位置关系是历年高考命题的热点．在近几年的高考中，每年风格都在变换，考查思维的敏捷性，在探索中求创新．