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已知两点M(0,1)N(0,-1),平面上动点P(x,y)满足
(Ⅰ)求动点P(x,y)的轨迹C的方程;
(Ⅱ)设Q(0,m),R(0,-m)(m≠0)是y轴上两点,过Q作直线与曲线C交于A、B两点,试证:直线RA、RB与y轴所成的锐角相等;
(Ⅲ).在Ⅱ的条件中,若m<0,直线AB的斜率为1,求△RAB面积的最大值.
【答案】分析:(1)先根足.把M,N和p的坐标代入整理得x2=4y,进而可得P点的轨迹方程.
(2)设直线l的方程,与抛物线方程联立消去y,设A(x1,y1),B(x2,y2),根据韦达定理可得x1+x2和x1x2,要证明直线RA、RB与y轴所成的锐角相等,只要证明kRA+kRB=0,进而表示出两直线斜率,相加正好得0.
(3)根据斜率为1可得直线AB的方程,与抛物线方程联立消去y,根据判别式大于0求得m的范围,根据x1+x2和x1x2,表示出|AB|.记点R到AB的距离为d,,进而表示出△RAB面积,判别出关于m的函数的单调性,进而可求得△RAB面积的最大值.
解答:解:(Ⅰ)∵

化简整理得x2=4y∴动点P(x,y)的轨迹C为抛物线,其方程为:x2=4y;
(Ⅱ)∵过Q作直线l与抛物线C交于A、B两点,∴l的斜率k存在
设直线l:y=kx+m与x2=4y联立,
消去y得x2-4kx-4m=0,
则此方程有两个不相等的实数根,
∴△=16k2+16m>0,*
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=4k,x1x2-4m,
要证直线RA、RB与y轴所成的锐角相等,
只要证明kRA+kRB=0


=
=
∴命题成立.
Ⅲ.若直线AB的斜率k=1,
∴直线x-y+m=0,由Ⅱ.知消去y得x2-4x-4m=0,
由*式△>0得m>-1,∴-1<m<0,
且x1+x2=4,x1x2-4m
记点R到AB的距离为d,

设f(m)=m3+m2f′(m)=3m2+2m令f′(x)>0知f(m)
递增,在递减,
∴当时f(m)有最大值,故S△RAB最大值为
点评:本题主要考查了抛物线的标准方程和直线与抛物线的关系.直线与圆锥曲线的位置关系是历年高考命题的热点.在近几年的高考中,每年风格都在变换,考查思维的敏捷性,在探索中求创新.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知两点M(0,1)N(0,-1),平面上动点P(x,y)满足|
NM
|•|
MP
|+
MN
NP
=0

(Ⅰ)求动点P(x,y)的轨迹C的方程;
(Ⅱ)设Q(0,m),R(0,-m)(m≠0)是y轴上两点,过Q作直线与曲线C交于A、B两点,试证:直线RA、RB与y轴所成的锐角相等;
(Ⅲ).在Ⅱ的条件中,若m<0,直线AB的斜率为1,求△RAB面积的最大值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

在平面直角坐标系中,点P(x,y)满足约束条件:
7x-5y-23≤0
x+7y-11≤0
4x+y+10≥0

(1)在给定的坐标系中画出满足约束条件的可行域 (用阴影表示,并注明边界的交点);
(2)设u=
y+7
x+4
,求u的取值范围;
(3)已知两点M(2,1),O(0,0),求
OM
OP
的最大值.

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已知点M(0,-1),直线l:y=mx+1与曲线C:ax2+y2=2(m,a∈R)交于A、B两点.
(1)当m=0时,有∠AOB=
π
3
,求曲线C的方程;
(2)当实数a为何值时,对任意m∈R,都有
OA
OB
=-2
成立.
(3)设动点P满足
MP
=
OA
+
OB
,当a=-2,m变化时,求|OP|的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知两点M(0,-
3
)和N(0,
3
),若直线上存在点P,使
.
PM 
  
.
-
.
PN 
  
.
=2,则称该直线为“和谐直线”.现给出下列直线:①x=2;②x-2y-3=0;③y=
2
2
x;④2x+3y-1=0,其中为“和谐直线”的是
 
(请写出符合题意的所有编号).

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