Question

【题目】已知三点，，，曲线上任意一点满足．

（1）求的方程；

（2）动点 在曲线上，是曲线在处的切线．问：是否存在定点使得与都相交，交点分别为，且与的面积之比为常数？若存在，求的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，.

【解析】分析：（1）先求出、的坐标，由此求得||和的值，两式相等，化简可得所求；（2）根据直线PA，PB的方程以及曲线C在点Q（x0，y0）（﹣2＜x0＜2）处的切线方程， D、E两点的横坐标，可得S△PDE和S△QAB的比值，从而求得参数值.

详解：

（1）依题意可得，

，

由已知得，化简得曲线C的方程： ,

（2）假设存在点满足条件，则直线的方程是，直线的方程是，曲线C在点Q处的切线l的方程为:,它与y轴的交点为，由于，因此

①当时，，存在，使得，即l与直线平行，故当时与题意不符

②当时，，所以l 与直线一定相交，分别联立方程组，

解得的横坐标分别是

则，又，

有，

又于是

对任意，要使与的面积之比是常数，只需t满足，

解得，此时与的面积之比为2，故存在，使与的面积之比是常数2.