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已知函数f(x)=loga
1-mxx-1
(a>0,a≠1,m≠1)是奇函数.
(1)当x∈(n,a-2)时,函数f(x)的值域是(1,+∞),求实数a与n的值;
(2)令函数g(x)=-ax2+8(x-1)af(x)-5,a≥8时,存在最大实数t,使得x∈(1,t]-5≤g(x)≤5恒成立,请写出t与a的关系式.
分析:(1)由已知,f(x)+f(-x)=0对定义域中的x均成立.求出m=-1,利用函数的单调性求f(x)在x∈(n,a-2)上的值域,列出相应的方程组并解出即可.
(2)g(x)=-ax2+8(x-1)af(x)-5=-a(x-
4
a
2+3+
16
a
,利用二次函数的图象和性质求解.
解答:解:(1)由已知条件得f(x)+f(-x)=0对定义域中的x均成立.
log
mx+1
-x-1
a
+
log
1-mx
x-1
a
=0.
 
mx+1
-x-1
 
 
1-mx
x-1
 
=1∴m2x2-1=x2-1对定义域中的x均成立.
=1,m=1(舍去)或=-1,∴m=-1.
∴f(x)=
log
x+1
x-1
a
(x<-1或x>1)
设t=
x+1
x-1
=1+
2
x-1

∴当a>1时,f(x)在(1,+∞)上是减函数.
同理当0<a<1时,f(x)在(1,+∞)上是增函数.
∵函数f(x)的定义域为(1,+∞)∪(-∞,-1),
∴①当n<a-2≤-1时有0<a<1.
∴f(x)在(n,a-2)为增函数,
要使值域为(1,+∞),
log
n+1
n-1
a
=1
a-2=-1
(无解);
②当1≤n<a-2时有a>3.
∴f(x)在(n,a-2)为减函数,
要使f(x)的值域为(1,+∞),则
log
a-1
a-3
a
=1
n=1

∴a=2+
3
,n=1.
(2)g(x)=-ax2+8(x-1)af(x)-5=-ax2+8(x+1)-5=-a(x-
4
a
2+3+
16
a

则函数y=g(x)的对称轴x=
4
a
,∵a≥8∴x=
4
a
∈(0,
1
2
]

∴函数y=g(x)在(1,t]上单调减.
则1<x≤t,有g(t)<g(x)<g(1)
∵g(1)=11-a,又∵a≥8,∴g(1)=11-a≤3<5.
∵t是最大实数使得x∈(1,t]-5≤g(x)≤5恒成立
∴-at2+8t+3=-5即at2-8t-8=0.
点评:本题考查函数的奇偶性和单调性,函数值域求解,考查数形结合、分类讨论的思想.
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x1+x2
2
时,又称直线AB存在“中值伴侣切线”.试问:当x≥e时,对于函数f(x)图象上不同两点A、B,直线AB是否存在“中值伴侣切线”?证明你的结论.

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1
f(n)
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3
x
a
+
3
(a-1)
x
,a≠0且a≠1.
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6
)上单调递减,在(
6
,+∞)上单调递增,求a的值并写出函数的解析式;
(3)记(2)中的函数图象为曲线C,试问是否存在经过原点的直线l,使得l为曲线C的对称轴?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.

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