Question

14．设数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n=2a_n-a₁且a₁，a₂+1，a₃成等差数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{na_n}的前n项和为T_n，求T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可知：n≥2，a_n=S_n-S_n-1，可得a_n=2a_n-1（n≥2），a₁，a₂+1，a₃成等差数列，即a₁+a₃=2（a₂+1），即可求得a₁=2，因此数列{a_n}是首项为2，公比为2的等比数列，即可求得数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：na_n=n•2ⁿ，“错位相减法”即可求得数列{na_n}的前n项和为T_n．

解答 解：（Ⅰ） 由已知S_n=2a_n-a₁，
当n≥2，S_n-1=2a_n-1-a₁，
两式相减得a_n=2a_n-2a_n-1，即a_n=2a_n-1（n≥2），
从而a₂=2a₁，a₃=2a₂=4a₁，
∵a₁，a₂+1，a₃成等差数列，即a₁+a₃=2（a₂+1），
∴a₁+4a₁=2（2a₁+1），解得a₁=2，
∴数列{a_n}是首项为2，公比为2的等比数列，
数列{a_n}的通项公式${a_n}={2^n}$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：na_n=n•2ⁿ，
∴${T_n}=1•{2^1}+2•{2^2}+3•{2^3}+4•{2^4}+…+（n-1）{2^{n-1}}+n•{2^n}$，
$2{T_n}=0+1•{2^2}+2•{2^3}+3•{2^4}+4•{2^5}+…+（n-1）{2^n}+n•{2^{n+1}}$，
两式相减得：$-{T_n}=2+{2^2}+{2^3}+{2^4}+…+{2^n}-n•{2^{n+1}}$，
=$\frac{{2（1-{2^n}）}}{1-2}-n•{2^{n+1}}={2^{n+1}}-2-n•{2^{n+1}}$，
∴${T_n}=n•{2^{n+1}}+2-{2^{n+1}}$．

点评 本题考查等比数列的通项公式，等比数列的证明，等差数列性质，“错位相减法”求数列的前n项和，考查计算能力，属于中档题．