Question

如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，且BD平分∠ADC，E为PC的中点，AD=CD=l，BC=PC，DB=2
（Ⅰ）证明PA∥平面BDE；
（Ⅱ）证明AC⊥平面PBD：
（Ⅲ）求四棱锥P﹣ABCD的体积．

Answer 1

（Ⅰ）证明：设AC∩BD=H，连接EH，
在△ADC中，因为AD=CD，且DB平分∠ADC，
所以H为AC的中点，
又E为PC的中点，
从而EH∥PA，
因为HE平面BDE，PA平面BDE，
所以PA∥平面BDE；
（Ⅱ）证明：因为PD⊥平面ABCD，AC平面ABCD，所以PD⊥AC，
由（I）知BD⊥AC，PD∩BD=D，PD平面PBD，BD平面PBD，
从而AC⊥平面PBD：
（Ⅲ）解：在△BCD中，DC=1，DB=2，∠BDC=45° 得
BC²=1²+（2）²﹣2×1×cos45°=5，
∴BC=．
在Rt△PDC中，PC=BC=，DC=1，
从而PD=2，S_ABCD=2S_△BCD=2，
故四棱锥P﹣ABCD的体积V _P﹣ABCD=．