Question

10．某次数学测验共有3道题，评分标准规定：“每题答对得5分，答错得0分”．已知某考生能正确解答这3道题的概率分别为$\frac{3}{5}，\frac{1}{2}，\frac{2}{5}$，且各个问题能否正确解答互不影响．
（I）求该考生至少答对一道题的概率；
（Ⅱ）记该考生所得分数为X，求X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）记“该考生至少答对一题”为事件A，A_i为事件“答对第i题”，i=1，2，3，由事件的独立性和互斥性，利用对立事件概率计算公式能求出该考生至少答对一道题的概率．
（Ⅱ）由已知得X的可能取值为0，5，10，15，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．

解答 解：（Ⅰ）记“该考生至少答对一题”为事件A，A_i为事件“答对第i题”，i=1，2，3，
由事件的独立性和互斥性，得：
P（A）=1-P（$\overline{A}$）=1-$P（\overline{{A}_{1}}）P（\overline{{A}_{2}}）P（\overline{{A}_{3}}）$
=1-$\frac{2}{5}×\frac{1}{2}×\frac{3}{5}$=$\frac{22}{25}$．
（Ⅱ）由已知得X的可能取值为0，5，10，15，
P（X=0）=P（$\overline{{A}_{1}}$）P（$\overline{{A}_{2}}$）P（$\overline{{A}_{3}}$）=$\frac{2}{5}×\frac{1}{2}×\frac{3}{5}=\frac{6}{50}$，
P（X=5）=P（${A}_{1}\overline{{A}_{2}}\overline{{A}_{3}}$+$\overline{{A}_{1}}{A}_{2}\overline{{A}_{3}}$+$\overline{{A}_{1}}\overline{{A}_{2}}{{A}_{3}}^{\;}$）
=$\frac{3}{5}×\frac{1}{2}×\frac{3}{5}$+$\frac{2}{5}×\frac{1}{2}×\frac{3}{5}$+$\frac{2}{5}×\frac{1}{2}×\frac{2}{5}$=$\frac{19}{50}$，
P（X=10）=P（${A}_{1}{A}_{2}\overline{{A}_{3}}$+${A}_{1}\overline{{A}_{2}}{A}_{3}$+${A}_{1}{A}_{2}\overline{{A}_{3}}$）
=$\frac{3}{5}×\frac{1}{2}×\frac{3}{5}+\frac{3}{5}×\frac{1}{2}×\frac{2}{5}$+$\frac{2}{5}×\frac{1}{2}×\frac{2}{5}$=$\frac{19}{50}$，
P（X=15）=P（A₁A₂A₃）=$\frac{3}{5}×\frac{1}{2}×\frac{2}{5}=\frac{6}{50}$，
∴X的分布列为：

X	0	5	10	15
P	$\frac{6}{50}$	$\frac{19}{50}$	$\frac{19}{50}$	$\frac{6}{50}$

EX=$0×\frac{6}{50}+5×\frac{19}{50}+10×\frac{19}{50}$+$15×\frac{6}{50}$=$\frac{15}{2}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意对立事件的概率计算公式的合理运用．