Question

（本题满分12分）
两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(-3，-1),并且各自绕着A,B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.
求：1）d的变化范围；
2）当d取最大值时两条直线的方程.

Answer 1

(1) (0，3]．(2) 3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.

(1)两直线的最大距离为直线与线段AB垂直时，距离最大，最大值为|AB|=.所以d的变化范围为.
(2)由于当d最大时，AB与直线垂直，所以可以利用AB的斜率求出直线的斜率，进而求出其直线方程.
(1)方法一：①当两条直线的斜率不存在时，即两直线分别为x＝6和x＝－3，则它们之间的距离为9.                         ………………2分
②当两条直线的斜率存在时，设这两条直线方程为
l₁：y－2＝k(x－6)，l₂：y＋1＝k(x＋3)，
即l₁：kx－y－6k＋2＝0，l₂：kx－y＋3k－1＝0， ………………4分
∴d＝＝.                ………………6分
即(81－d²)k²－54k＋9－d²＝0.                  ………………8分
∵k∈R，且d≠9，d＞0，
∴Δ＝(－54)²－4(81－d²)(9－d²)≥0，即0＜d≤3且d≠9.………………12分
综合①②可知，所求d的变化范围为(0,3]．

方法二：如图所示，显然有0＜d≤|AB|.
而|AB|＝＝3.
故所求的d的变化范围为(0，3]．
(2)由图可知，当d取最大值时，两直线垂直于AB.
而k_AB＝＝，
∴所求直线的斜率为－3. 故所求的直线方程分别为
y－2＝－3(x－6)，y＋1＝－3(x＋3)，即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.