Question

如图，已知ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，它的底面边长和侧棱长都是2，D为侧棱CC₁的中点，E为底面一边A₁B₁的中点．
（Ⅰ）求证：AB⊥DF；
（Ⅱ）求三棱锥A₁-ABD的体积，并求直线A₁B₁到与它平行的平面DAB的距离．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的性质,点、线、面间的距离计算

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）取AB中点F，连EF，DF，则EF⊥AB，由已知条件推导出DF⊥AB，由此能证明AB⊥DF．
（Ⅱ）由已知条件得VA1-ABD=VD-A1BA=

1

3

×h×S△ABA1=

2

3

3

，设直线A₁B₁到与它平行的平面DAB的距离d．利用等积法能求出三棱锥A₁-ABD的体积，求出直线A₁B₁到与它平行的平面DAB的距离．

解答： 解：（Ⅰ）取AB中点F，连EF，DF，则EF⊥AB，
ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，D为侧棱CC₁的中点，
∴DA=DB，∴DF⊥AB，
∴AB⊥平面DEF，∴AB⊥DF．（4分）
（Ⅱ）∵ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，它的底面边长和侧棱长都是2，
D为侧棱CC₁的中点，E为底面一边A₁B₁的中点，
∴VA1-ABD=VD-A1BA=

1

3

×h×S△ABA1=

2

3

3

，（8分）
由题意知DA=DB=

5

，∴S_△AED=2，
设直线A₁B₁到与它平行的平面DAB的距离d．
∵VA1-ABD=VD-A1BA=

2

3

3

，
∴

1

3

×d×S△ABD=

1

3

×d×2=

2

3

3

，
∴d=

3

．（12分）

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查三棱锥体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．