【题目】如图,过顶点在原点、对称轴为轴的抛物线上的点作斜率分别为,的直线,分别交抛物线于,两点.
(1)求抛物线的标准方程和准线方程;
(2)若,证明:直线恒过定点.
【答案】(1)抛物线的标准方程为,准线方程为;(2)证明见解析.
【解析】
(1)设出抛物线的标准方程,将点坐标代入,进而可求出抛物线的标准方程;利用准线的计算方法,即可求出准线方程;
(2)求出直线和直线的方程,分别与抛物线方程联立,求出点和点坐标,利用斜率公式求出直线的斜率,利用点斜式方程写出直线的方程,并借助,即可求得结果.
(1)设抛物线的标准方程为,,
将代入得,解得,
所以抛物线的标准方程为,准线方程为.
(2)证明:因为直线过点,斜率为,
利用点斜式方程,可得直线的方程为,即,
因为直线过点,斜率为,
利用点斜式方程,可得直线的方程为,即,
联立,消去y得,.
解得或,
因此点
同理可得.
于是直线的斜率
,又,.
所以直线的方程为,
即,
故直线恒过定点.
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【题目】已知椭圆: 的离心率为,以为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)已知点,和平面内一点(),过点任作直线与椭圆相交于, 两点,设直线, , 的斜率分别为, , , ,试求, 满足的关系式.
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【题目】随着我国经济实力的不断提升,居民收入也在不断增加.某家庭2019年全年的收入与2015年全年的收入相比增加了一倍,实现翻番.同时该家庭的消费结构随之也发生了变化,现统计了该家庭这两年不同品类的消费额占全年总收入的比例,得到了如下折线图:
则下列结论中正确的是( )
A.该家庭2019年食品的消费额是2015年食品的消费额的一半
B.该家庭2019年休闲旅游的消费额是2015年休闲旅游的消费额的五倍
C.该家庭2019年教育医疗的消费额与2015年教育医疗的消费额相当
D.该家庭2019年生活用品的消费额是2015年生活用品的消费额的两倍
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【题目】已知()的方格表中的每个元素都是绝对值不大于1的实数,且方格表中所有元素之和等于0,试求最小的非负实数,使得每个这样的方格表中必有一行或一列,其元素之和的绝对值不大于.
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【题目】国际奥委会将于2017年9月15日在秘鲁利马召开130次会议决定2024年第33届奥运会举办地,目前德国汉堡,美国波士顿等申办城市因市民担心赛事费用超支而相继退出,某机构为调查我国公民对申办奥运会的态度,选了某小区的100位居民调查结果统计如下:
支持 | 不支持 | 合计 | |
年龄不大于50岁 | 80 | ||
年龄大于50岁 | 10 | ||
合计 | 70 | 100 |
(1)根据已知数据,把表格数据填写完整;
(2)能否在犯错误的概率不超过5%的前提下认为不同年龄与支持申办奥运有关?
(3)已知在被调查的年龄大于50岁的支持者中有6名女性,其中2名是女教师.现从这6名女性中随机抽取2名,求恰有1名女教师的概率.
附:,,
0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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【题目】对于函数,若函数是增函数,则称函数具有性质A.
若,求的解析式,并判断是否具有性质A;
判断命题“减函数不具有性质A”是否真命题,并说明理由;
若函数具有性质A,求实数k的取值范围,并讨论此时函数在区间上零点的个数.
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