Question

【题目】已知函数，其中.

（1）讨论的单调性；

（2）当时，证明:；

（3）试比较与 ，并证明你的结论。

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析

【解析】

（1）求得，对的范围分类讨论即可求得的单调性。

（2）将转化成，证明恒成立，利用导数求得，问题得证。

（3）由（2）可得：，整理得：，所以，整理得：

利用即可得：，问题得解。

（1）函数的定义域为：，

①当时，，所以在上单调递增

②当时，令，解得 ．

当时，，所以， 所以在上单调递减；

当时，，所以，所以在上单调递增．

综上，当时，函数在上单调递增；

当时，函数在上单调递减，在上单调递增.

（2）当 时，，要证明，

即证，即证：.

设，则 ，令得，.

当时，，当时，.

所以为极大值点，且在处取得最大值。

所以，即。故.

（3）证明：（当且仅当时等号成立），即,

则有+

,

故：+