Question

在直线x-y+9=0上取一点M，过点M且与椭圆

x2

4

+

y2

3

=1共焦点作椭圆C，问点M在何处时，椭圆C长轴长最短？并求出椭圆方程．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设要求的椭圆C标准方程为

x2

m+1

+

y2

m

=1(m＞0)，与椭圆的方程联立化为（2m+1）x²+18（m+1）x+（m+1）（81-m）=0，当直线与椭圆相切时，椭圆C长轴长最短．因此△=0，解出即可得出．

解答： 解：设要求的椭圆C标准方程为

x2

m+1

+

y2

m

=1(m＞0)，
联立

x-y+9=0 x2 m+1 + y2 m =1

，化为（2m+1）x²+18（m+1）x+（m+1）（81-m）=0，
当直线与椭圆相切时，椭圆C长轴长最短．
令△=18²（m+1）²-4×（81-m）（m+1）（2m+1）=0，
解得m=40．
∴要求的椭圆C的标准方程为

x2

41

+

y2

40

=1．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相切问题转化为方程联立与判别式的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．