Question

20．抛物线y=2x²的一组斜率为k的平行弦的中点的轨迹方程是x=$\frac{1}{4k}$（k≠0，抛物线内部）．

Answer 1

分析 设斜率为k的弦与抛物线交于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），于是有k=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$，且k≠0，y₁=2x₁²，y₂=2x₂²，设AB的中点M（x，y），两式相减即可求得斜率为k的直线截抛物线的弦的中点的轨迹方程．

解答 解：设斜率为k的弦与抛物线交于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
则k=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$，且k≠0，y₁=2x₁²，y₂=2x₂²，
∴y₂-y₁=2（x₂²-x₁²），即y₂-y₁=2（x₂+x₁）（x₂-x₁），
设AB的中点M（x，y），则x₂+x₁=2x，
∴k=4x（k≠0），
整理得：x=$\frac{1}{4k}$（k≠0）．
∴抛物线y=2x²的一组斜率为k的平行弦的中点的轨迹方程是x=$\frac{1}{4k}$（k≠0）．
故答案为：x=$\frac{1}{4k}$（k≠0，抛物线内部）．

点评 本题考查抛物线的简单性质，考查轨迹方程的求法，考查推理与运算能力，属于中档题．