Question

1．已知函数f（x）=ax²-|x|+2a-1；
（1）若a=1，求函数f（x）的单调区间；
（2）设f（x）在区间[1，2]上的最小值为g（a），求g（a）的表达式；
（3）若f（x）≥0恒成立，求a的最小值．

Answer 1

分析 （1）由a=1，将函数转化为分段函数，进而每一段转化为二次函数，用二次函数法求得每段的单调区间即可；
（2）受（1）的启发，用二次函数法求函数的最小值，要注意定义域，同时由于a不具体，要根据对称轴分类讨论；
（3）运用参数分离，再构造右边的函数，运用基本不等式，可得最大值，可得a的最小值．

解答 解：（1）a=1时，f（x）=x²-|x|+1=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+x+1，x＜0}\\{{x}^{2}-x+1，x≥0}\end{array}\right.$，
当x＜0时，f（x）=（x+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$，增区间为（-$\frac{1}{2}$，0），减区间为（-∞，-$\frac{1}{2}$）；
当x≥0时，f（x）=（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$，增区间为（$\frac{1}{2}$，+∞），减区间为（0，$\frac{1}{2}$）．
∴f（x）的单调增区间为：（-$\frac{1}{2}$，0），（$\frac{1}{2}$，+∞），减区间为（-∞，-$\frac{1}{2}$），（0，$\frac{1}{2}$）；
（2）当x∈[1，2]时，f（x）=ax²-x+2a-1，
若a=0，则f（x）=-x-1在区间[1，2]上是减函数，
最小值g（a）=f（2）=-3．
若a≠0，则f（x）=a（x-$\frac{1}{2a}$）²+2a-$\frac{1}{4a}$-1，
f（x）图象的对称轴是直线x=$\frac{1}{2a}$，
当a＜0时，f（x）在区间[1，2]上是减函数，g（a）=f（2）=6a-3．
当0＜$\frac{1}{2a}$＜1，即a＞$\frac{1}{2}$时，f（x）在区间[1，2]上是增函数，g（a）=f（1）=3a-2．
当1＜$\frac{1}{2a}$＜2，即$\frac{1}{4}$≤a≤$\frac{1}{2}$时，g（a）=f（$\frac{1}{2a}$）=2a-$\frac{1}{4a}$-1，
当2＜$\frac{1}{2a}$，即0＜a＜$\frac{1}{4}$时，f（x）在区间[1，2]上是减函数，g（a）=f（2）=6a-3．
综上得g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{6a-3，a＜\frac{1}{4}}\\{2a-\frac{1}{4a}-1，\frac{1}{4}≤a≤\frac{1}{2}}\\{3a-2，a＞\frac{1}{2}}\end{array}\right.$．
（3）f（x）≥0恒成立，即为a≥$\frac{|x|+1}{{x}^{2}+2}$恒成立．
令g（x）=$\frac{|x|+1}{{x}^{2}+2}$，
当x=0时，g（0）=0，
由于g（x）为偶函数，
则考虑x＞0的最大值即可．
当x＞0时，g（x）=$\frac{x+1}{{x}^{2}+2}$=$\frac{1}{x+1+\frac{3}{x+1}-2}$≤$\frac{1}{2\sqrt{3}-2}$=$\frac{\sqrt{3}+1}{4}$，
当且仅当x+1=$\frac{3}{x+1}$即x=$\sqrt{3}$-1，取得最大值．
则a≥$\frac{\sqrt{3}+1}{4}$，
故a的最小值为$\frac{\sqrt{3}+1}{4}$．

点评 本题主要考查分段函数，二次函数，考查求其单调区间，函数的最值，充分考查了分类讨论的方法、二次函数的图象与性质．